مسعود مختاری

ماشین ریاضی جدیدی برای رام کردن اعداد اول (?(?

     اعداد اول بسیار زیبا و جذابند و در عین حال معمای حیرت انگیز و سرگردان‌کننده ای را در برابر ریاضی دانان مطرح ساخته اند: تعریف این اعداد کاملا ساده است، رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن کاملا بی‌نظم و فاقد قاعده به نظر می‌آید و هرچه شمار بیشتری از آنها شکارمی‌شوند، کار شکار بعدی‌ها دشوارتر می‌شود.

طی قرنهای متمادی ریاضی دانان در شرق و غرب عالم به جستجوی راههایی برای دستیابی به اعداد اول برخاسته‌اند و با این همه بهترین روشهایی که تا بحال در این زمینه ابداع شده چنان کند است که حتی پر سرعت‌ترین کامپیوتر های کنونی نیز نمی‌توانند کمک چندانی در شکار این اعداد شگفت انگیز کنند.

اعداد اول بر طبق تعریف اعدادی هستند که تنها به ? ?و بر خودشان تقسیم پذیرند. به عنوان نمونه اعداد ? ?،?،?،?،??،??،??،??اعداد اول کمتر از ??? در سلسله اعداد طبیعی هستند. اما هرچه در این سلسله پیش تر برویم اعداد اول نایاب تر می‌شوند.

بطوریکه اگر چندین میلیون بار به سرعت کامپیوتر های کنونی افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترین عدد اولی که تا به حال شناخته شده افزوده می‌گردد.

ریاضی دانان در آرزوی دست یافته به روشی هستند که با استفاده از آن بتوانند با سرعت به یافتن اعداد اول توفیق یابند و یا اگر با عددی هر اندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند که آیا عدد اول است ؟ - اما یافتن چنین روشی به فسفر مغز نیاز دارد و نه سرعت کامپیوتر. -
اما یک گروه از ریاضی دانان هندی مدعی شده‌اند که در آستانه دستیابی به همان آزمونی هستند که ریاضی دانان قرنها مشتاقانه در آرزویش بوده اند.

مانیندرا اگراوال ? ,Manindra Agrawalو دانشجویانش نیراج کایال ?Neeraj ? Kayalو نیتین سکسنا ? Nitin Saxenaدر موسسه تکنولوژی کانپور مدعی شده‌اند که در آستانه تکمیل آزمونی هستند که اول بودن یا نبودن هر عدد طبیعی را با سرعت مشخص می‌کند. این آزمون در صورتی که تکمیل شود می‌تواند تبعات و نتایج بسیار گسترده‌ای برای جهان کنونی به بار آورد.

درحال حاضر بسیاری از معاملات تجاری و نقل و انتقالات مالی و نیز مبادله اطلاعات محرمانه از طریق شبکه های مخابراتی مانند اینترنت و با بهره گیری از رمز کردن پیامها به انجام می‌رسد.

اعداد اول در تنظیم این قبیل رمزها نقشی اساسی بر عهده دارند و از همین رو دستیابی به اعداد اول جدید که دیگران از آن بی‌خبر باشند برای سازندگان این رمزها و نیز مشتریان آنان از اهمیت زیاد برخوردار است.

اما اگر روش این محققان هندی تکمیل شود در آن صورت امنیت این قبیل نقل و انتقالات در معرض خطر جدی قرار خواهد گرفت.

سابقه قرار گرفتن ریاضی دانان تحت جاذبه اعداد اول به قرنها پیش باز می گردد. در سال ? ????کارل گائوس از بزرگترین ریاضی دانان اعلام کرد که مساله تشخیص اعداد اول از اعداد غیر اول یکی از مهمترین مسائل حساب به شمار می‌آید.

اعداد اول به یک معنا همان نقشی را در سلسله اعداد بازی می‌کنند که اتمها در ساختار بنای کیهان دارند- این اعداد سنگ بنای ناپیدای دیگر اعداد محسوب می‌شوند.

یکی از عادی‌ترین راههای شناسایی اعداد اول تقسیم آن به دیگر اعداد است.

از طرف دیگر با اندکی تامل روشن می‌شود که اعداد زوج عدد اول نیستند زیرا همگی بر ? ?قابل قسمتند.

اعدادی که بتوان جذر آنها را به دست آورد نیز اول نیستند. اما این روشها برای شناسایی اعداد اول بزرگ به کلی بی‌فایده‌اند. به عنوان مثال اگر عدد اولی دارای ? ???رقم باشد در آن صورت کل عمر باقیمانده از کیهان بر اساس نظریه های جدید کیهانشناسی نیز برای مشخص کردن اول بودن یا نبودن این عدد با این شیوه های متعارف کفایت نمی‌کند.

بنابراین ریاضی دانان به سراغ روشهای دیگر رفته‌اند. مهمترین سوال در مورد همه این روشها آن است که با چه سرعتی می‌توانند یک عدد اول را مشخص کنند و با ازدیاد ارقام عدد اول زمان لازم برای محاسبه چه اندازه طولانی تر می شود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتی از شمار ارقام عدد ازدیاد یابد در آن صورت این روش روش قابل قبولی به شمار آورده می‌شود .

به این نوع روشها که زمان به صورت توانی در آنها افزوده می‌شود "روشهای توانی" می‌گویند. روشهای دیگر که زمان در آنها با سرعت بیشتری افزایش می‌یابد روشهای غیرتوانی نام دارند.

به عنوان مثال روش تقسیم معمولی یک روش غیرتوانی برای یافتن اعداد اول است. در این روش زمان لازم برای تعیین اول بودن یک عدد با ? dرقم، برابر با ? /??d/2این نوع روشها بسیار نامناسبند.

در سال ? ????منطق‌دان برجسته آلمانی کورت گودل این پرسش را مطرح ساخت که آیا می‌توان این نوع روشهای تقسیم را بهبود بخشید. تلاش خود او نهایتا به کشف شماری از روشهای عملی برای یافتن اعدادی به بزرگی ? ???رقم یا بیشتر منجر شد. همه این روشها احتمالاتی هستند و بنابراین در مواردی پاسخ غلط به دست می‌دهند هرچند که این موارد بسیار نادرند.

ادامه دارد...

منبع:http://www.irna.ir/fa/news/view/menu-279/8405194318165146.htm