مسعود مختاری

 

?.  کوچکترین چندجمله ای که ریشه آن مجموع ریشه های دوم چند عدد است.

    توضیحات: در این نکته، با استفاده از توابع متقارن، فرمول جالبی برای ساختن کوچکترین چند جمله  ای ارائه می کند که یک ریشه آن مجموع ریشه های دوم چند عدد است. البته درباره  ریشه های دیگر آن نیز صحبت می کند.  

?.  اثبات ساده ای از قضیه "کوهن":   صفحات ?  ?

     توضیحات: قضیه مشهور کوهن بیان می کند که یک حلقه تعویض پذیر، نوتری است اگر و فقط اگر هر ایده آل اول آن به طور متناهی تولید شود. در این نکته، قضیه کلی تری بیان و     ثابت می شود.

?.  خاصیت "رول" در میدانهای متناهی: صفحات ?  ?  ?  ?

     توضیحات: قضیه رول بیان می کند که ریشه های مشتق یک تابع حقیقی، بین ریشه های آن تابع قرار دارند و لذا اگر یک چند جمله ای با ضرایب حقیقی در R  تجزیه شود، مشتق آن نیز  در R تجزیه خواهد شد. این خاصیت را  "خاصیت رول" گوییم. در این مقاله خاصیت رول را در میدانهای متناهی بررسی میکند. 

?. حلقه هایی بدون ایده آل ماکزیمال:  صفحات ?  ?  ?  ?

    توضیحات: می دانیم که هر حلقه یکدار دارای ایده آلی ماکسیمال است. شرط یکدار بودن نیز الزامی است، یعنی ممکن است حلقه ای بدون یک، دارای ایده آل ماکسیمال نباشد. در این نکته جالب، مثالهایی از این حلقه ها را خواهید دید. 

?. طبقه بندی گروهها از مرتبه ?:  صفحات ?  ?   منبع

   توضیحات:  معمولا در کلاسهای خوب جبر ?، اساتید این مطلب را که «دقیقاْ دو گروه غیر یکریخت از مرتبه ? موجود است» بیان و ثابت می کنند. این قضییه اثباتهای متعددی دارد اما یکی از  بهترین روشهایی که این حقیر مشاهده کرده ام، روشی است که در این نکته در اختیارتان قرار می گیرد. این روش را «روش آلگوریتمی» می نامیم و بسیار شبیه روشی است که در درس برنامه نویسی رایانه فرا می گیریم.
  
?. گروه متناوب A ₄ ، دارای مرتبه ای برابر با  ?? است اما زیرگروهی از مرتبه ? ندارد.

   توضیحات: قضیه لاگرانژ بیان می کند که مرتبه هر زیرگروه، مرتبه گروه را عاد می کند. عکس این قضیه  درست نیست و کوچکترین مثال نقض آن، گروه  A ₄ از مرتبه ?? است که هیچ زیرگروهی از  مرتبه ? ندارد. اثبات این مطلب روشهای گوناگونی دارد که یکی از این روشها، «روش  آلگوریتمی» است که در نکته ? درباره آن توضیح داده ایم. این روش را در این نکته ملاحظه خواهید کرد.

?. ارتباطی بین نظریه گروهها و نظریه حلقه ها

  توضیحات: در این مقاله سعی شده است ارتباطی بین نظریه گروهها و حلقه ها چنان برقرار شود که اطلاعات موجود در یک مفهوم، قابل دستیابی در مفهوم دیگر باشد. با این روش، ارتباط  بین گروههای پوچتوان و حلقه های لی بررسی شده است. 

برگرفته از وبلاگ http://www.ep-math.coo.ir/