سفارش تبلیغ

ثبت شرکت
صبا

مسعود مختاری

نظریه گره ها یا Knots Theory

 در ریاضیات ، یک گره ( یا knot ) عبارت است از  یک دایره خوابیده شده ( به مفهوم ریاضی آن) در فضای سه بعدی اقلیدسی که به گونه ای پیوسته تغییر شکل داده است. تفاوت اصلی میان یک گره به معنای عرفی آن و گره در ریاضیات در این است که برخلاف گره هایی که تاکنون دیده ایم در گره ریاضی هیچ مالش و اصطکاکی وجود ندارد. به طور مثال گره های زده شده در بادبان ها می توانند بر اثر لیزی یا عدم استحکام طناب باز شوند اما در ریاضیات اینگونه نیست. ساده ترین گره عبارت است از یک حلقه بسته که از تغییر حالت دایره به وجود آمده است و در واقع هیچ گرهی در آن وجود ندارد. چنین گرهی را unknot یا گره بدیهی می نامند. 

                               دو صورت از unknot

 گره ها انواع گوناگونی دارند اما پس از  گره های بدیهی ، ساده ترین گره ها عبارتند از گره سه پره و گره هشتی شکل ( یا گره Listing ).

           گره سه پره       گره هشتی شکل

همانطوری که می دانیم کره واحد در واقع همان فشرده سازی تک نقطه ای فضای سه بعدی است و لذا ریاضیدانان غالبا علاقه مندند که گره هایی را در نظر بگیرند که روی کره واحد قرار دارند ، چراکه کره واحد مجموعه ای فشرده است.

شما میتوانید گردایه متنوعی از گره ها را در سایت http://www.math.utk.edu/~morwen/index.html  ملاحظه نمایید.
اگر چند گره را به گونه ای به یکدیگر ملحق کنیم که یکدیگر را قطع نکنند حاصل را یک لینک ( link ) می نامند. بطور رسمی تر یک لینک عبارت است از یک زیر فضای فضای سه بعدی اقلیدسی که هر مؤلفه همبندی آن با یک دایره همیومورفیک است. بنابراین یک گره می تواند به عنوان لینکی تک مؤلفه ای در نظر گرفته شود. ساده ترین مثال غیر بدیهی از یک لینک که بیشتر از یک مؤلفه دارد  لینک  Hopf می باشد که شامل دو دایره است که فقط یک بار به همدیگر ملحق می شوند. پس از آن ، حلقه های Borromean  تشکیل لینکی با سه مؤلفه می دهند که هر مؤلفه آن معادل است با یک unknot.

 

 
       لینک Hopf      حلقه های Borromean

گره ها و لینک ها در شاخه ای از توپولوژی با نام نظریه گره ها مورد مطالعه قرار می گیرند. این شاخه از ریاضیات به نوعی یک حلقه واصل شاخه هایی به ظاهر دور از هم در ریاضیات می باشد مانند نظریه گروه ها، نظریه ماتریس ها، نظریه اعداد، هندسه جبری ، و هندسه دیفرانسیل، و هر چند کاربردهای ابتدایی آن مربوط می شود به نظریه الکتریسیته و فیزیک اتمی مقدماتی با این وجود کاربردهای وسیعی در شیمی، فیزیک و زیست پیدا کرده است. شاید آخرین کاربردهای آن در زیست شناسی و برای شناخت هرچه بیشتر DNA باشد. در مطالب آینده سعی خواهم کرد تاریخچه و همچنین مقدمه ای کوتاه برای آشنایی بیشتر با نظریه گره ها بنویسم.